Butelka Kleina: niezwykły obiekt matematyczny o dziwnych właściwościach

Matematyka nie jest nauką o liczbach. Stwierdzenie, że matematyka jest nauką liczb, jest tym samym, co powiedzenie, że malowanie to pędzle i farby, a balet to sfory i szparki. Matematyka bada wielkość, związek między tymi wielkościami i formą w przestrzeni.

Jedna z gałęzi matematyki, topologii, ciągłości badań, w tym ciągłości przestrzeni. Jednym z kierunków badań topologii są niezorientowane rozmaitości, w których rozumie się, że różnorodność oznacza pewną przestrzeń podobną do tej, w której żyjemy.

Najprostszym przykładem nie orientowalnego rozgałęzienia jest pasek Mobiusa . Aby uzyskać taki przedmiot, wystarczy wziąć długą wstążkę papieru i połączyć jej końce, obracając jeden z nich o 180 stopni.

pasek Mobiusa

Jeśli łączysz końce bezpośrednio, taśma tworzy pierścień z wewnętrzną i zewnętrzną powierzchnią, które są oddzielone dwiema krawędziami. Jeśli przymocujemy taśmę obracając jeden z końców o 180 stopni, otrzymamy jedną zamkniętą powierzchnię z jedną krawędzią. Oznacza to, że jeśli przejdziemy wzdłuż powierzchni tej taśmy, możemy ominąć cały jej obszar, nie przekraczając krawędzi.

W 1882 roku Felix Klein wysunął pomysł, jak zrobić taki obiekt, który obejmowałby jedną zamkniętą powierzchnię, a jednocześnie nie miałby jednej krawędzi. W myślach wziął cylinder, wbił jedną jego krawędź w bok i połączył go z drugą krawędzią. Więc dostał butelkę Kleina.

Oprócz tego, że ta butelka nie ma krawędzi, jej główną cechą jest to, że ma tylko jedną stronę. Pojęcie „jednej strony” oznacza, co następuje: jeśli mentalnie zaczniemy chodzić po powierzchni danego obiektu, możemy ominąć cały jego obszar zarówno wewnątrz, jak i na zewnątrz. Idąc wzdłuż zewnętrznej części, możemy wejść do dziury, nie przekraczając żadnych krawędzi, ponieważ po prostu ich nie ma. Po przejściu przez tę dziurę dostaniemy się do środka i będziemy w stanie przejść wokół niej całą powierzchnię.

W porównaniu ze zwykłą butelką widać, że zwykła butelka ma dwie powierzchnie - zewnętrzną i wewnętrzną. W takim przypadku zewnętrzna i wewnętrzna powierzchnia jest oddzielona krawędzią szyi.

Jeśli wyobrażamy sobie, że butelka jest absolutnie cienka, wówczas jej krawędź, czyli szyjka, stanie się absolutnie ostra. A jeśli pójdziemy mentalnie wzdłuż jego zewnętrznej krawędzi i spróbujemy dostać się do środka, wtedy zostaniemy po prostu skaleczeni. W przypadku absolutnie cienkiej butelki Klein możemy dotrzeć do absolutnie wszędzie, bez odrywania powierzchni.

Gdybyśmy żyli we wszechświecie o czterech makroskopowych wymiarach przestrzennych, wówczas butelka Kleina ujawniłaby kolejną interesującą właściwość. W przypadku trójwymiarowym miejsce, w którym cienka część butelki Kleina wcina się w ścianę, jest dla nas przeszkodą, ale w czterech wymiarach to miejsce przestaje być przeszkodą, co ilustruje poniższa animacja:

Jeśli założymy, że butelka Kleina składa się z jakiegoś nieelastycznego materiału, możemy spróbować skręcić ją w nieskończoność, jednak taki przedmiot zawsze zachowa swój kształt i właściwości.

Butelka Klein jest również niezależna od wielkości. Ten obiekt można zwiększyć, zmniejszyć, skompresować lub rozciągnąć, ale nadal nie zmieni on swoich właściwości matematycznych.

Oprócz jednej zamkniętej powierzchni butelka Kleina i pasek Mobiusa mają coś wspólnego. Jeśli rozdzielimy butelkę Kleina wzdłuż linii symetrii, otrzymamy tylko dwa identyczne paski Mobiusa. Jedyną różnicą między tymi taśmami będzie to, że będą się wzajemnie odzwierciedlać.

Warto zauważyć, że aby uzyskać taśmy referencyjne Moebiusa, konieczne jest przeprowadzenie tego rozdzielenia w przestrzeni czterowymiarowej w celu wyeliminowania problemu przecięcia się.

Matematyka nie jest nauką o liczbach!

Podobne Artykuły